Изотоп испытывает радиоактивный распад

Решение задач по теме «Радиоактивный распад». 11 класс

1.Активность препарата³²P равна 2мкКи. Сколько весит такой препарат?

1.Активность препарата³²P равна 2мкКи. Сколько весит такой препарат?

Закон радиоактивного распада:

N(t) = N₀e^-λt,

где N₀— количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t=0, N(t) — количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, λ — постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). λN — активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1Ки=3.7·10¹⁰распадов/с. T_1/2— период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для³²P 14.5суток. Период полураспада T_1/2связан с постоянной распада λ соотношением T_1/2=ln2/λ.Количество ядер в образце массой m грамм

где N_A— число Авогадро, A — массовое число. Активность препарата

тогда его масса будет

7.1·10^-12г.

2.Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа¹³¹I равен 193часам.

Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа¹³¹I равен 193часам.

Из закона радиоактивного распада N(t) = N₀e^-λtследует, что в течение первых суток (первых 24 часов) распалось N₁= N₀(1 — e^-24λ)ядер.В течение вторых суток распалось N₂= N₀(1 — e^-24λ)e^-24λядер.Отношение числа распадов за первые сутки к числу распадов за вторые сутки, где T_1/2— период полураспада¹³¹I в часах, связанный с λ соотношением T_1/2=ln2/λ= 0.693/λ.Окончательно

3.Определить энергию W, выделяемую 1мг препарата²¹⁰Po за время, равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия E=5.4МэВ.

Количество ядер радиоактивного препарата за среднее время жизни уменьшается вe=2.718 раз. Тогда количество распавшихся за это время ядер будет D=1— 1/2.718=0.632 от их первоначального числа. Начальное число ядер Nв образце массой m грамм определяется из соотношения N=mN_A/A, где N_A— число Авогадро, A— массовое число. Количество энергии, выделившейся за время, равное среднему времени жизни изотопа²¹⁰Po

4.Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле⁴⁰Ar образовался из⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов⁴⁰Ar приходится один атом⁴⁰K.

4. Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле⁴⁰Ar образовался из⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов⁴⁰Ar приходится один атом⁴⁰K.

Число не распавшихся к настоящему времени ядер⁴⁰K

,

где N₀— начальное число ядер⁴⁰K в момент образования Земли, t — возраст Земли. T_1/2— период полураспада⁴⁰K, составляющий 1.277·10⁹лет. При радиоактивном распаде⁴⁰K путем e- захвата распадается только 10.67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет

.

Получаем уравнение:

,

откуда

5.В результате α-распада радий²²⁶Ra превращается в радон²²²Rn. Какой объем радона при нормальных условиях будет находиться в равновесии с 1г радия? Период полураспада²²⁶RaT_1/2(²²⁶Ra)=1600лет, T_1/2(²²²Rn)=3.82дня.

При установлении векового равновесия количество радиоактивных ядер обоих изотопов и их постоянные распада связаны уравнением

λ₁N₁=λ₂N₂,

откуда

N_Rn=N_Raλ_Ra/λ_Rn=N_RaT_1/2(Rn)/T_1/2(Ra).

Количество ядер²²⁶Ra

N_Ra=m N_A/A,

где mи A- массаимассовое число²²⁶Ra , N_A— число Авогадро. Искомый объем

V=V_MN_Rn/N_A,

где V_M— молярный объем газа (22.4л/моль). Получаем

6.Определить сечение σ реакции³¹P(n,p)³¹Si, если известно, что после облучения мишени³¹P толщиной d=1г/см²в потоке нейтронов J=2·10¹⁰с^-1·см^-2в течение времени t_обл=4ч ееβ- активность I, измеренная через время t_охл=1 час после окончания облучения, оказаласьI(t_охл)=3.9·10⁶распадов/с. Период полураспада T_1/2(³¹Si)=157.3мин.

Число ядер³¹Si, образующихся в 1с в данной реакции

,

где n — число ядер на единицу площади мишени, N_A— число Авогадро, A- массовое число³¹Si. Число распадающихся в 1с ядер λN(t), где λ=ln2/T_1/2=60×0.693/157.3=0.264ч^-1— постоянная распада³¹Si. Тогда

,

при этом N(0)=0. Получаем, что к моменту времени t_облобразовалось ядер³¹Si

.

Через промежуток времени t_охлпосле окончания облучения число ядер³¹Si

Активность препарата

Для сечения реакции получаем

2·10^-26см²=20мб.

7.Определить кинетические энергии α-частиц T_α, образующихся при α-распаде²¹²Bi на возбужденные состояния ядра²⁰⁸Tl с энергиями 0.49 и 0.61МэВ. Энергия связи E_св(A,Z) ядра²¹²Bi — 1654.32МэВ, ядра²⁰⁸Tl — 1632.23МэВ и α-частицы — 28.30МэВ.

Энергия α-распада из основного состояния исходного ядра в основное состояние конечного ядра Q₀определяется из соотношения

Q₀=[M(A,Z)— M(A-4,Z-2)— M(α)]с²=E_св(A-4,Z-2)+E_св(α)— E_св(A,Z),

где M(A,Z) — масса исходного ядра, M(A-4,Z-2) — масса конечного ядра, M(α) — масса α-частицы и E_св(A,Z), E_св.(A-4,Z-2), E_св(α) соответственно их энергии связи. В общем случае, когда распад происходит из возбужденного состояния начального ядра в возбужденное состояние конечного ядра, энергия α-распада определяется соотношением

Q=Q₀+E_i—E_f,

где E_iи E_f— энергии возбуждения начального и конечного ядер.Кинетическая энергия α-частиц с учетом энергии отдачи конечного ядра

При распаде на первое возбужденное состояние (0.49МэВ) ядра²⁰⁸Tl

T_α=(1632.23+28.30—1654.32—0.49)МэВ×208а.е.м./212а.е.м.=5.61МэВ.

При распаде на второе возбужденное состояние (0.61МэВ) энергия α-частиц будет

T_α=(1632.23+28.30—1654.32—0.61)МэВ×208а.е.м./212а.е.м.=5.49МэВ.

8.Определить орбитальный момент l, уносимый α-частицей в следующих распадах:

Для распада A → B+b запишем законы сохранения момента и четности

где_A,_B,_b— спины частиц A, B и b соответственно,— орбитальный момент частицы b.

где P_A, P_B, P_b— внутренние четности частиц A, B и b соответственно. Спин α-частицы 0, четность положительная. Законы сохранения момента и четности для α-распада можно записать в виде

где_i,_f— начального и конечного ядер.

где P_i, P_f— четности начального и конечного ядер. Таким образом в случаеа) 0<l<5, четность не меняется и поэтому l=0,2,4; в случаеб) 2<l<3, четность не меняется и l=2; в случаев) 0<l<5, четность не меняется и l=0,2,4; и в случаег) 1<l<4, четность меняется и l=1,3.

9.Используя значения масс атомов, определить верхнюю границу спектра позитронов, испускаемых при β⁺-распаде ядра²⁷Si. M_ат(²⁷Si) = 25137.961МэВ, M_ат(²⁷Al) = 25133.150МэВ (массы в энергетических единицах).

Энергияβ⁺—распада

Q=M_ат(A,Z)– M_ат(A,Z-1)– 2m_e,

где M_ат.(A,Z) — масса атома исходного ядра и M_ат.(A,Z-1) – масса атома ядра-продукта. Верхняя граница спектра позитронов равна энергии распада

T^max=Q=25137.961МэВ– 25133.150МэВ– 2×0.511МэВ=3.789МэВ.

10.Определить энергию отдачи ядра⁷Li, образующегося приe-захвате в ядре⁷Be. Даны энергии связи ядер — E_св(⁷Be)=37.6МэВ, E_св(⁷Li)=39.3МэВ.

Процесс⁷Be +e^—→⁷Li +ν_e. Энергияe-захвата

Q_e=E_св(A,Z-1)–E_св(A,Z)–(m_n–m_p)c²+m_ec²=E_св(A,Z-1)–E_св(A,Z)–0.78МэВ,

где E_св(A,Z) и E_св(A,Z-1) – энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_pи m_e– массы нейтрона, протона и электрона.

Q_e=E_св(⁷Li)– E_св(⁷Be)–0.78МэВ=(39.3—37.6—0.78)МэВ~0,9МэВ.

Из законов сохранения энергии и импульса следует

где T_Li,– кинетические энергии отдачи ядра и нейтрино. Нейтрино – релятивистская частица, а ядро – нерелятивистское:

;;

Окончательно имеем

.

11.Определить кинетическую энергию конечного ядра при β^——распаде ядра⁶⁴Cu(⁶⁴Cu →⁶⁴Zn+e+_e) когда1)энергия антинейтрино=0,2)энергия электрона T_e=0. Энергии связи ядер⁶⁴Cu — 559.32Мэв и⁶⁴Zn — 559.12МэВ.

Энергияβ^——распада

=E_св(A,Z+1)— E_св(A,Z)+(m_n— m_p)c²— m_ec² =E_св(A,Z+1)— E_св(A,Z)+0.78МэВ = 0.58МэВ,

где E_св(A,Z) и E_св(A,Z+1) — энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_pи m_e— массы нейтрона, протона и электрона. Энергия отдачи ядра при β^—-распаде будет:

1)=0. Запишем законы сохранения энергии и импульса

Для импульсов, учитывая, что p_Zn— нерелятивистский импульс, p_e— релятивистский импульс, можно записатьгде m_Zn— масса ядра⁶⁴Zn. Из законов сохранения имеем

.

Далее, т.к. m_e<<m_Zn, то T_Zn<<

.

2) T_e=0. Аналогично как и в первом случае

Импульс антинейтрино ультрарелятивистский

.

Окончательно получим

12.Даны избытки масс атомов — Δ(¹¹⁴Cd)=-90.021МэВ, Δ(¹¹⁴In)=-88.379МэВ иΔ(¹¹⁴Sn)=-90.558МэВ. Определить возможные виды β—распада ядра¹¹⁴In.

Для ядра¹¹⁴In β—распады выглядят так:

Если величина энергии распада положительна, то ядро неустойчиво к распаду этого типа.Энергии распадов:

где Δ(A,Z) — избыток масс исходного ядра, Δ(A,Z+1) и Δ(A,Z— 1) — избытки масс конечных ядер, m_e— масса электрона. Подставим значения:

Таким образом, ядро¹¹⁴In испытывает все три вида β-распада.

13.Показать, что в случае β-распада⁴²Sc имеет место разрешенный переход типа Ферми, а³²P — типа Гамова-Теллера.

К разрешенным β-переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный момент l, уносимый электроном и нейтрино, равен нулю. Разрешенные переходы делятся на переходы типа Ферми, при которых спины электрона и нейтрино антипараллельны, и типа Гамова-Теллера, при которых спины электрона и нейтрино параллельны. Для разрешенных-переходов справедливы соотношения

_i+_j=0, P_i=P_fдля переходов Ферми,_i+_j=0,1 (кроме 0→0 переходов), P_i=P_fдля переходов Гамова-Теллера, i и f обозначают начальное и конечное ядро.

Рассмотрим переход⁴²Sc(0⁺)⁴²Ca(0⁺): для него P_i=P_fи_i+_j=0, то есть выполнены все условия для перехода типа Ферми. Рассмотрим переход³²P(1⁺)³²Sc(0⁺): для него P_i=P_fи_i+_j=1, то есть все условия для перехода типа Гамова-Теллера выполнены.

14.Определить порядок запрета следующих β-переходов:

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) → ⁸⁹Y(1/2^—);
2. ³⁶Cl(2⁺) →³⁶Ar(0⁺);
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺) →¹³⁷Ba(3/2⁺).

Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который определяется суммарным орбитальным моментом l, уносимым электроном и нейтрино. Если l=1, то это запрещенный переход первого порядка, l=2 — второго порядка и т.д. Справедливы следующие соотношения:

.

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) ⁸⁹Y(1/2^—) — возможны два варианта: ΔJ = 2; l = 1; P_i = (-1)³ P_f — первого порядка запрета и Δ J = 3; l = 3; P_i = (-1)³ P_f — третьего порядка запрета. Так как вероятность-переходов сильно падает при увеличении порядка запрета, то в данном случае будет преобладать -переход первого порядка запрета.
2. ³⁶Cl(2⁺)³⁶Ar(0⁺) — возможен всего один вариант: ΔJ = 2; l = 2; P_i = (-1)² P_f — это β-переход второго порядка запрета.
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺)¹³⁷Ba(3/2⁺) — возможны два варианта: ΔJ = 2, 3; l = 2; P_i = (-1)^2,4 P_f — β-переход второго порядка запрета и ΔJ = 4, 5; l = 4; P_i = (-1)^4,6 P_f — это β-переход четвертого порядка запрета. Преобладающим будет -переход второго порядка.

15.Для ядра¹⁷Ne определить максимальную энергию запаздывающих протонов, вылетающих из ядра¹⁷F, образующегося в результатеe-захвата на ядре¹⁷Ne. Энергии связи E_св(¹⁷Ne)=112.91МэВ, E_св(¹⁷F)=128.23МэВиE_св(¹⁶O)=126.63МэВ.

Рассматриваемый процесс¹⁷Ne+e^—→¹⁷F*+ν_e→¹⁶O+p. Максимальная энергия возбуждения ядра¹⁷F* равна энергииe-захвата

E_max(¹⁷F*)=Q_e=E_св(¹⁷F)—E_св.(¹⁷Ne)—0.78МэВ=128.23МэВ—112.91МэВ—0.78МэВ=14.54МэВ.где 0.78 = [m(n) — m(¹H)]c².

Энергия отделения протона для ядра¹⁷F

ε_p=E_св(A,Z)—E_св(A-1,Z-1)=E_св(¹⁷F)—E_св(¹⁶O)=128.23МэВ—126.63МэВ=1.6МэВ.

Максимальная энергия запаздывающих протоновесть

Для решения задачи энергия связи¹⁷F не требуется. Действительно,

E_max(¹⁷F*) — ε_p= E_св(¹⁷F)—E_св.(¹⁷Ne)—0.78МэВ — E_св(¹⁷F)+E_св(¹⁶O) == E_св(¹⁶O) — E_св.(¹⁷Ne)—0.78МэВ = 12.94МэВ

16. Определить типы и мультипольности-переходов:

Изменения состояний атомных ядер, сопровождающиеся испусканием или поглощением квантов электромагнитного поля, называются-переходами. Полный момент количества движения фотона J называется его мультипольностью. Значение спина фотона J_min=1. Полный момент J может принимать только целочисленные значения (кроме нуля). Различаются переходы электрические (EJ) и магнитные (MJ). Для электрических фотонов четность P=(-1)^J. Для магнитных фотонов P=(-1)^J+1.

1. 1^— → 0⁺ — J = 1; P = -1, фотоны типа E1;
2. 1⁺ →  0⁺ — J = 1; P = +1, фотоны типа M1;
3. 2^— → 0⁺ — J = 2; P = -1, фотоны типа M2;
4. 2⁺ → 3^— — J = 1, 2, 3, 4, 5; P = -1, фотоны типа E1, M2, E3, M4, E5; преобладают фотоны типа E1;
5. 2⁺ → 3⁺ — J = 1, 2, 3, 4, 5; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4, M5; преобладают фотоны типа M1 и E2;
6. 2+ → 2⁺ — J = 1, 2, 3, 4; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4; преобладают фотоны типа M1 и E2.

17.По схеме низших возбужденных состояний ядра²⁰⁸Pb определить наиболее вероятный путь распада возбужденного состояния 4^—с энергией 3.475МэВ. Указать мультипольности переходов.

Период полураспада T_1/2γ-переходов зависит от мультипольности перехода J и длины волны излучения.

Для электрических переходов EJ —,для магнитных переходов MJ—,где R — радиус ядра.

Рассмотрим переходы с уровня E(J^P=4^—)=3.475МэВ:

• переход (4^—→ 5^—) имеет J=1,2,3,4,5,6,7,8,9; P_i/P_f=+1 и типы переходов M1+E2+M3+E4+M5+E6+M7+E8+M9; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1+E2;
• переход (4^—→ 3^—) имеет J=1,2,3,4,5,6,7; P_i/P_f=+1 и типы переходов M1+E2+M3+E4+M5+E6+M7; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1+E2;
• переход (4^—→ 0⁺) имеет J=4; P_i/P_f=— 1 и тип перехода M4.

Наибольшую вероятность имеют переходы с наименьшей мультипольностью, в данном случае это(4^—→ 5^—) и (4^—→ 3^—). Из этих двух переходов большую вероятность имеет переход (4^—→ 3^—), так как энергия этого переходаE(4^—→ 3^—)=3.475—2.610=0.865МэВ больше энергии переходаE(4^—→ 5^—)=3.475—3.197=0.278МэВ, и, соответственно, длина волныизлучения, входящая в знаменатель выражения для вероятности перехода, меньше.

Таким образом, распад возбужденного состояния ядра²⁰⁸Pb с E(J^P=4^—)=3.475МэВ происходит в основном по каналу (4^—→ 3^—→ 0⁺).

18.Согласно классической электродинамике, электрический диполь размера l в единицу времени излучает энергию, определяемую соотношением

,

где ω — циклическая частота колебаний диполя, Ze и l — заряд и размер диполя. Используя это соотношение, оценить среднее время для электрических дипольных переходов γ-квантов с энергией 1МэВ в ядре A70.

Предположим, что для ядра с массовым числом A =70 зарядовое число Z = 30 и определим радиус диполя равным радиусу ядра — R=r₀A^1/3, где величина r₀=1.2Фм. Число γ-квантов в единицу времени N, учитывая, что E_γ= ћω:

.

Оценим среднее время жизни:

19.Оценить допплеровское уширение спектральной линии с энергиейE_γ=1МэВ при комнатной температуре (T=300K).

Допплеровское уширение спектральной линии

,

где T — температура в абсолютной шкале, k — постоянная Больцмана. Энергия отдачи ядра при испускании-кванта

.

Предположим, что масовое число ядра A=50. Учитывая, что для комнатной температуры T=300K величина kT=0.025эВ, получаем

20.Используя формулу Вайцзеккера, получить соотношение для вычисления энергии спонтанного деления на два одинаковых осколка и рассчитать энергию симметричного деления ядра²³⁸U.

Энергия деления ядра на два одинаковых осколка Q_f=(m_исх—2m_оск)=2W_оск—W_исх, где m_исхи m_оск— массы исходного ядра и каждого из осколков, а W_исхи W_оск— их энергии связи. Формула Вайцзеккера для энергии связи ядра

,

где a₁=15.78МэВ, a₂=17.8МэВ, a₃=0.71МэВ, a₄=94.8МэВ, a₅=0 для ядер с нечетным A, a₅=+34МэВ для четно- четных ядер и a₅=— 34МэВ для нечетно- нечетных ядер. Последний член a₅/A^3/4вследствие его малости рассматривать не будем.

При делении исходного ядра (A_исх,Z_исх) на два одинаковых осколка (A_оск,Z_оск) их массовые числа и заряды имеют следующие соотношения: A_оск=A_исх/2 и Z_оск=Z_исх/2. Энергия деления ядра будет зависеть только от второго и третьего членов формулы Вайцзеккера — поверхностной и кулоновской энергии:

Поверхностная энергия осколков

.

Кулоновская энергия осколков

.

Энергия деления ядра Q_fвыделяется в результате изменения кулоновской и поверхностной энергии исходного ядра и осколков

22.Какое количество ядер должно делиться в 1 сек для получения мощности в 1 Вт? Какая масса урана-235 делится в секунду в ядерном реакторе мощностью 1000 МВт?

В одном делении освобождается энергия около 200 МэВ =3.2·10^-4эрг = 3.2·10^-11Дж. Отсюда получаем 1 Вт = 1Дж/с ≈ 3.1·10¹⁰делений в 1 сек. Соответственно при мощности 1000 МВт число делений в 1 сек должно быть 3.1·10¹⁹, а масса делящегося урана

(3.1·10¹⁹)·235·1 а.е.м. = (3.1·10¹⁹)·235·1.66·10^-24г ≈ 12 мг.

Отметим, что это соответствует делению 1 кг урана в сутки.

23.Оценить количество²³⁵U, которое необходимо подвергнуть делению для того, чтобы ядерный реактор полезной мощностью 1000 МВт непрерывно работал в течение года. Считать, что лишь 1/3 полной мощности реактора оказывается полезной.

Чтобы генерировать полезную мощность 1000 МВт реактор должен вырабатывать полную мощность 3000 МВт =3·10⁹Дж/с. Таким образом, полная энергия, освобождаемая в реакторе в течение 1 года (≈3·10⁷с) за счёт деления, равна (3·10⁹Дж/с)×(3·10⁷с) ≈ 10¹⁷Дж. Далее учтём, что в каждом акте деления освобождается около 200 МэВ. Поэтому требуемое для обеспечения вышеуказанной мощности число делений следующее:

Масса одного атома урана-235 равна ( а.е.м.)×1.66·10^-27кг ≈ 4·10^-25кг, так что необходимая полная масса урана-235 равна (4·10^-25)×(3·10²⁷делений) ≈ 1000 кг, т. е. более одной тонны. Поскольку доля урана-235 в естественном уране всего 0.72%, то требуемое для работы реактора количество естественного урана становится равным ≈ (1.2 т)/0.0072 ≈ 170 тонн. Непосредственно в реакторе используется обогащенный уран, доля урана-235 в котором может быть порядка 10%. Соответственно требуемое количество обогащенного урана сокращается примерно в 10-20 раз.

24.Показать, что основная часть энергии деления освобождается в виде кинетической энергии осколков.

Такой вывод следует из того, что кулоновская энергия двух соприкасающихся осколков приблизительно равна энергии деления. Под действием электрических сил отталкивания кулоновская энергия осколков переходит в их кинетическую энергию. Оценим величину кулоновской энергии соприкасающихся одинаковых осколков:

где Z и R – заряд и радиус осколков, α = e2/ћc = 1/137 – постоянная тонкой структуры,ћc = 197 МэВ·Фм. При делении урана на два одинаковых осколка (А ≈ 240/2, Z = 92/2) (симметричное деление), радиус каждого R ≈ 1.3А^1/3Фм.

25.Наиболее вероятное деление²³⁵U тепловыми нейтронами приводит к появлению в качестве осколков ядер¹³⁹Xe и⁹²Sr с суммарной кинетической энергией Т ≈ 170 МэВ. Определить, как распределяется эта энергия между ядрами¹³⁹Xe и⁹²Sr и каковы скорости их движения. Считать, что ядро делилось в состоянии покоя.

Для решения задачи можно использовать простейшую нерелятивистскую кинематику. Запишем уравнения баланса кинетических энергий и импульсов осколков:

T_Xe+ T_Sr= T,p_Xe= p_Srили M_XeT_Xe= M_SrT_Sr.

Решение этой системы даёт для искомых кинетических энергий осколков следующие выражения и величины:

Вычисляем скорости осколков:

Здесь для массы осколков в энергетических единицах использовано Mc²= А·(1а.е.м), где A − массовое число осколка, а 1 а.е.м = 931.5 МэВ.

Источник

• https://mega-talant.com/biblioteka/reshenie-zadach-po-teme-radioaktivnyy-raspad-11-klass-82585.html